Постоянные упругости изотропной среды могут иметь произвольные значения

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Доступ платный или только для подписчиков

Аннотация

На примере матрицы постоянных упругости изотропного материала показано, что модули Юнга, сдвига, объемный, коэффициент Пуассона могут принимать любые действительные значения. При этом положительная определенность матрицы постоянных упругости не является обязательной, как традиционно принято считать. Положительность удельной энергии деформации имеет место и тогда, когда матрица постоянных упругости не является положительно определенной. Достаточно для обратимости соотношений закона Гука требовать невырожденности матрицы постоянных упругости. Приведены графики модулей Юнга, объемного и коэффициента Пуассона в зависимости от отношения постоянных Ламе.

Об авторах

Н. И. Остросаблин

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Email: o.n.ii@yandex.ru
Новосибирск, Россия

Список литературы

  1. Boulanger P., Hayes M. On Young’s modulus for anisotropic media // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1995. V. 62. № 3. P. 819–820. https://doi.org/10.1115/1.2897022
  2. Boulanger P., Hayes M. Poisson’ ratio for orthorhombic materials // J. Elast. 1998. V. 50. P. 87–89. https://doi.org/10.1023/A:1007468812050
  3. Cazzani A., Rovati M. Extrema of Young’s modulus for cubic and transversely isotropic solids // Intern. J. Solids Struct. 2003. V. 40. № 7. P. 1713–1744. https://doi.org/10.1016/S0020-7683(02)00668-6
  4. Ting T.C.T. The stationary values of Young’s modulus for monoclinic and triclinic materials // J. Mech. 2005. V. 21. № 4. P. 249–253. https://doi.org/10.1017/S1727719100000691
  5. Ting T.C.T. Explicit expression of the stationary values of Young’s modulus and the shear modulus for anisotropic elastic materials // J. Mech. 2005. V. 21. № 4. P. 255–266. https://doi.org/10.1017/S1727719100000708
  6. Norris A.N. Extreme values of Poisson’s ratio and other engineering moduli in anisotropic materials // J. Mech. Mater. Struct. 2006. V. 1. № 4. P. 793–812. https://doi.org/10.2140/jomms.2006.1.793
  7. Norris A.N. Poisson’s ratio in cubic materials // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 2006. V. 462. № 2075. P. 3385–3405. https://doi.org/10.1098/rspa.2006.1726
  8. Hayes M., Shuvalov A. On the extreme values of Young’s modulus, the shear modulus, and Poisson’s ratio for cubic materials // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1998. V. 65. № 3. P. 786–787. https://doi.org/10.1115/1.2789130
  9. Ting T.C.T. Very large Poisson’s ratio with a bounded transverse strain in anisotropic elastic materials // J. Elast. 2004. V. 77. № 2. P. 163–176. https://doi.org/10.1007/s10659-005-2156-6
  10. Ting T.C.T., Chen T. Poisson’s ratio for anisotropic elastic materials can have no bounds // Quart. J. Mech. Appl. Math. 2005. V. 58. № 1. P. 73–82. https://doi.org/10.1093/qjmamj/hbh021
  11. Tarumi R., Ledbetter H., Shibutani Y. Some remarks on the range of Poisson’s ratio in isotropic linear elasticity // Philosophical Magazine. 2012. V. 92. № 10. P. 1287–1299. https://doi.org/10.1080/14786435.2011.644816
  12. Лисовенко Д.С. Аномальные величины коэффициента Пуассона анизотропных кристаллов // Деформация и разрушение материалов. 2011. № 7. С. 1–10.
  13. Епишин А.И., Лисовенко Д.С. Экстремальные значения коэффициентов Пуассона кубических кристаллов // Журн. техн. физики. 2016. Т. 86. № 10. С. 74–82.
  14. Остросаблин Н.И. Условия экстремальности постоянных упругости и главные оси анизотропии // Прикл. механика и техн. физика. 2016. Т. 57. № 4. С. 192–210. https://doi.org/10.15372/PMTF20160419
  15. Остросаблин Н.И. О наитеснейших границах констант упругости и приведении удельной энергии деформации к каноническому виду // Изв. АН СССР. Механика тверд. тела. 1989. № 2. С. 90–94.
  16. Остросаблин Н.И. Наитеснейшие границы изменения практических констант упругости анизотропных материалов // Прикл. механика и техн. физика. 1992. № 1. С. 107–114.
  17. Аннин Б.Д., Остросаблин Н.И. Анизотропия упругих свойств материалов // Прикл. механика и техн. физика. 2008. Т. 49. № 6. С. 131–151.
  18. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.
  19. Остросаблин Н.И. Классы симметрии тензоров анизотропии квазиупругих материалов и обобщение подхода Кельвина // Прикл. механика и техн. физика. 2017. Т. 58. № 3. С. 108–129. https://doi.org/10.15372/PMTF20170312
  20. Остросаблин Н.И. Собственные модули упругости и состояния для материалов кристаллографических сингоний // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1986. Вып. 75. С. 113–125.
  21. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.
  22. Чернышев Г.Н. Взаимное обобщение уравнений упругого и гравитационного полей на основе механики деформируемых тел // Изв. АН. Механика тверд. тела. 2002. № 2. С. 86–100.
  23. Чернышев Г.Н. Упругость, гравитация, электродинамика. М.: Наука, 2003. 144 с.
  24. Букреева К.А., Бабичева Р.И., Дмитриев С.В., Zhou K., Мулюков Р.Р. Отрицательная жесткость нанопленки интерметаллида FeAl // Физика тверд. тела. 2013. Т. 55. № 9. С. 1847–1851.
  25. Lakes R., Wojciechowski K.W. Negative compressibility, negative Poisson’s ratio , and stability // Physica Status Solidi. B. 2008. V. 245. № 3. P. 545–551. https://doi.org/10.1002/pssb.200777708
  26. Wu Y., Lai Y., Zhang Z.-Q. Elastic metamaterials with simultaneously negative effective shear modulus and mass density // Phys. Rev. Lett. 2011. V. 107. № 10. P. 105506-1–105506-5. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.107.105506
  27. Zadpoor A.A. Mechanical meta-materials // Mater. Horiz. 2016. V. 3. № 3. P. 371–381. https://doi.org/10.1039/C6MH00065G
  28. Yu X., Zhou J., Liang H. et al. Mechanical metamaterials associated with stiffness, rigidity and compressibility. A brief review // Progress in Materials Science. 2018. V. 94. P. 114–173. https://doi.org/10.1016/j.pmatsci.2017.12.003
  29. Остросаблин Н.И. Единственность решения граничных задач статических уравнений теории упругости с несимметричной матрицей модулей упругости // Сиб. журн. индустр. математики. 2022. Т. 25. № 4. С. 107–115. https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2022.25.409
  30. Cairns A.B., Catafesta J., Levelut C. et al. Giant negative linear compressibility in zinc dicyanoaurate // Nat. Mater. 2013. V. 12. P. 212–216. https://doi.org/10.1038/nmat3551
  31. Остросаблин Н.И. О функциональной связи двух симметричных тензоров второго ранга // Прикл. механика и техн. физика. 2007. Т. 48. № 5. С. 134–137.
  32. Остросаблин Н.И. Функции кинетических напряжений в механике сплошных сред // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 2007. Вып. 125. С. 76–116.
  33. Pipkin A.C. Constraints in linearly elastic materials // J. Elast. 1976. V. 6. № 2. P. 179–193. https://doi.org/10.1007/BF00041785
  34. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Модуль сдвига кубических кристаллов // Письма о материалах. 2012. Т. 2. С. 21–24.
  35. Goldstein R.V., Gorodtsov V.A., Komarova M.A., Lisovenko D.S. Extreme values of the shear modulus for hexagonal crystals // Scripta Materialia. 2017. V. 140. P. 55–58. https://doi.org/10.1016/j.scriptamat.2017.07.002
  36. Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. Extreme values of Young’s modulus and Poisson’s ratio of hexagonal crystals // Mechanics of Materials. 2019. V. 134. P. 1–8. https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2019.03.017
  37. Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Ауксетики среди материалов с кубической анизотропией // Изв. РАН. МТТ. 2020. № 4. С. 7–24. https://doi.org/10.31857/S0572329920040054
  38. Gorodtsov V.A., Tkachenko V.G., Lisovenko D.S. Extreme values of Young’s modulus of tetragonal crystals // Mechanics of Materials. 2021. V. 154. P. 103724. https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2020.103724
  39. Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. The extreme values of Young’s modulus and the negative Poisson’s ratios of rhombic crystals // Crystals. 2021. V. 11. № 8. P. 863. https://doi.org/10.3390/cryst11080863
  40. Volkov M.A. Stationary Points of Poisson’s Ratio of Six-Constant Tetragonal Crystals AT Particular Orientations // Mech. Solids. 2024. V. 59. P. 3254–3265. https://doi.org/10.1134/S0025654424606244
  41. Boulanger P., Hayes M. On Young’s modulus for anisotropic media // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1995. V. 62. № 3. P. 819820. https://doi.org/10.1115/1.2897022
  42. Boulanger P., Hayes M. Poisson’ ratio for orthorhombic materials // J. Elast. 1998. V. 50. № 1. P. 8789. https://doi.org/10.1023/A:1007468812050
  43. Cazzani A., Rovati M. Extrema of Young’s modulus for cubic and transversely isotropic solids // Intern. J. Solids Struct. 2003. V. 40. № 7. P. 17131744. https://doi.org/10.1016/S0020-7683(02)00668-6
  44. Ting T.C.T. The stationary values of Young’s modulus for monoclinic and triclinic materials // J. Mech. 2005. V. 21. № 4. P. 249253. https://doi.org/10.1017/S1727719100000691
  45. Ting T.C.T. Explicit expression of the stationary values of Young’s modulus and the shear modulus for anisotropic elastic materials // J. Mech. 2005. V. 21. № 4. P. 255266. https://doi.org/10.1017/S1727719100000708
  46. Norris A.N. Extreme values of Poisson’s ratio and other engineering moduli in anisotropic materials // J. Mech. Mater. Struct. 2006. V. 1. № 4. P. 793812. https://doi.org/10.2140/jomms.2006.1.793
  47. Norris A.N. Poisson’s ratio in cubic materials // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 2006. V. 462. № 2075. P. 33853405. https://doi.org/10.1098/rspa.2006.1726
  48. Hayes M., Shuvalov A. On the extreme values of Young’s modulus, the shear modulus, and Poisson’s ratio for cubic materials // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1998. V. 65. № 3. P. 786787. https://doi.org/10.1115/1.2789130
  49. Ting T.C.T. Very large Poisson’s ratio with a bounded transverse strain in anisotropic elastic materials // J. Elast. 2004. V. 77. № 2. P. 163176. https://doi.org/10.1007/s10659-005-2156-6
  50. Ting T.C.T., Chen T. Poisson’s ratio for anisotropic elastic materials can have no bounds // Quart. J. Mech. Appl. Math. 2005. V. 58. № 1. P. 7382. https://doi.org/10.1093/qjmamj/hbh021
  51. Tarumi R., Ledbetter H., Shibutani Y. Some remarks on the range of Poisson’s ratio in isotropic linear elasticity // Philosophical Magazine. 2012. V. 92. № 10. P. 12871299. https://doi.org/10.1080/14786435.2011.644816
  52. Lisovenko D.S. Anomal’nye velichiny koephphitsienta Puassona anizotropnykh kristallov [Anomalous values of Poisson’s ratio of anisotropic crystals] // Deformatsiya i razrusheniye materialov. 2011. № 7. p. 110 (In Russian).
  53. Epishin A.I., Lisovenko D.S. Extreme values of the Poisson’s ratio of cubic crystals // Technical Physics. 2016. V. 61. P. 15161524. https://doi.org/10.1134/S1063784216100121
  54. Ostrosablin N.I. Extreme conditions of elastic constants and principal axes of anisotropy. J. Appl. Mech. Tech. Phy. 2016. V. 57. P. 740756. https://doi.org/10.1134/S0021894416040192
  55. Ostrosablin N.I. O naitesneyshikh granitsakh konstant uprugosti i privedenii udel’noy energii deformatsii k kanonicheskomu vidu [On the most restrictive bounds on elastic constants and the reduction of speci c deformation energy to canonical form] // Izvestiya AN SSSR. Mekhanika tvyordogo tela. 1989. № 2. P. 9094 (In Russian).
  56. Ostrosablin N.I. The most restrictive bounds on change in the applied elastic constants for anisotropic materials. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 1992. V. 33. P. 95101. https://doi.org/10.1007/BF00864513
  57. Annin B.D., Ostrosablin N.I. Anisotropy of elastic properties of materials. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2008. V. 49. P. 998 1014. https://doi.org/10.1007/s10808-008-0124-1
  58. Truesdell C. A first course in rational continuum mechanics // The John Hopkins University. Baltimore, Maryland. 1972.
  59. Ostrosablin N.I. Symmetry classes of the anisotropy tensors of quasielastic materials and a generalized Kelvin approach. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2017. V. 58. P. 469–488. https://doi.org/10.1134/S0021894417030129
  60. Ostrosablin N.I. Sobstvennye moduli uprugosti i sostoyaniya dlya materialov kristallographicheskikh singoniy [Elasticity eigenvalues and eigenvectors for the materials of crystallographic singonium]. Novosibirsk: Dinamika sploshnoy sredy. 1986. V. 75. P. 113125 (In Russian).
  61. Lurie A.I. Theory of elasticity. Springer Science; Business Media, 2010.
  62. Chernyshev G.N. Mutual generalization of elastic and gravitational eld equations on the basis of solid mechanics. Mech. Solids, 2002. V. 37. № 2. P. 7081.
  63. Chernyshev G.N. Uprugost’, gravitatsiya, elektrodinamika [Elasticity, gravity, electrodynamics]. Moscow: Nauka, 2003. 144 p. (In Russian).
  64. Bukreeva K.A., Babicheva R.I., Dmitriev S.V. et al. Negative sti ness of the FeAl intermetallic nano lm // Phys. Solid State. 2013. V. 55. P. 19631967. https://doi.org/10.1134/S1063783413090072
  65. Lakes R., Wojciechowski K.W. Negative compressibility, negative Poisson’s ratio, and stability // Physica Status Solidi. B. 2008. V. 245. № 3. P. 545551. https://doi.org/10.1002/pssb.200777708
  66. Wu Y., Lai Y., Zhang Z.-Q. Elastic metamaterials with simultaneously negative e active shear modulus and mass density // Physical Review Letters. 2011. V. 107. № 10. P. 105506–1105506-5. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.107.105506
  67. Zadpoor A.A. Mechanical meta-materials // Materials Horizons. 2016. V. 3. № 5. P. 371381. https://doi.org/10.1039/C6MH00065G
  68. Yu X., Zhou J., Liang H. et al. Mechanical metamaterials associated with stiffness, rigidity and compressibility. A brief review // Progress in Materials Science. 2018. V. 94. P. 114173. https://doi.org/10.1016/j.pmatsci.2017.12.003
  69. Ostrosablin N.I. Uniqueness of the Solution of Boundary Value Problems for the Static Equations of Elasticity Theory with a Nonsymmetric Matrix of Elastic Moduli. J. Appl. Ind. Math. 2022. V. 16. P. 713719. https://doi.org/10.1134/S1990478922040123
  70. Cairns A.B., Catafesta J., Levelut C. et al. Giant negative linear compressibility in zinc dicyanoaurate // Nat. Mater. 2013. V. 12. P. 212216. https://doi.org/10.1038/nmat3551
  71. Ostrosablin N.I. Functional relation between two symmetric second-rank tensors // J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2007. V. 48. P. 734–736. https://doi.org/10.1007/s10808-007-0094-8
  72. Ostrosablin N.I. Funktsii kineticheskikh napryazheniy v mekhanike sploshnykh sred [Functions of kinetic stresses in the mechanics of continuous media]. Novosibirsk: Dinamika sploshnoy sredy, 2007. V. 125. P. 76116 (In Russian).
  73. Pipkin A.C. Constraints in linearly elastic materials // J. Elast. 1976. V. 6. № 2. P. 179–193. https://doi.org/10.1007/BF00041785
  74. Goldshtein R.V., Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. Modul’ sdviga kubicheskikh kristallov [Shear modulus of cubic crystals] // Pisma o materialakh. 2012. V. 2. № 1. P. 21–24 (in Russian). https://doi.org/10.22226/2410-3535-2012-1-21-24
  75. Goldstein R.V., Gorodtsov V.A., Komarova M.A., Lisovenko D.S. Extreme values of the shear modulus for hexagonal crystals // Scripta Materialia. 2017. V. 140. P. 55–58. https://doi.org/10.1016/j.scriptamat.2017.07.002
  76. Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. Extreme values of Young’s modulus and Poisson’s ratio of hexagonal crystals // Mechanics of Materials. 2019. V. 134. P. 1–8. https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2019.03.017
  77. Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. Auksetiki sredi materialov s kubicheskoi anizotropiey [Auxetics among materials with cubic anisotropy] // Izvestiya RAN. Mekhanika tvyordogo tela. 2020. № 4. P. 7–24 (in Russian). https://doi.org/10.31857/S0572329920040054
  78. Gorodtsov V.A., Tkachenko V.G., Lisovenko D.S. Extreme values of Young’s modulus of tetragonal crystals // Mechanics of Materials. 2021. V. 154. P. 103724. https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2020.103724
  79. Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. The extreme values of Young’s modulus and the negative Poisson’s ratios of rhombic crystals // Crystals. 2021. V. 11. № 8. P. 863. https://doi.org/10.3390/cryst11080863
  80. Volkov M.A. Stationary Points of Poisson’s Ratio of Six-Constant Tetragonal Crystals AT Particular Orientations // Mech. Solids. 2024. V. 59. P. 3254–3265. https://doi.org/10.1134/S0025654424606244

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2025