Функции вращения интегрируемых биллиардов как траекторные инварианты

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Изучаются траекторные инварианты интегрируемых биллиардов на двумерных столах-книжках при постоянных значениях энергии. Эти инварианты вычисляются по функциям вращения, определенным на однопараметрических семействах 2-торов Лиувилля. Для двумерных биллиардных книжек доказан полный аналог теоремы Лиувилля, введены переменные действие-угол, определены функции вращения. Получена общая формула функций вращения таких систем. Для ряда примеров была исследована монотонность этих функций, вычислены реберные траекторные инварианты (векторы вращения). Оказалось, не все биллиарды обладают монотонными функциями вращения, как изначально предполагала гипотеза А.Т. Фоменко. Тем не менее для некоторых серий биллиардов эта гипотеза верна.

Об авторах

Г. В. Белозеров

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Автор, ответственный за переписку.
Email: gleb0511beloz@yandex.ru
Россия, Москва

А. Т. Фоменко

Московский центр фундаментальной и прикладной математики

Email: atfomenko@mail.ru

академик РАН

Россия, Москва

Список литературы

  1. Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54. № 3. С. 546–575.
  2. Фокичева В.В. Описание особенностей системы бильярда в областях, ограниченных софокусными эллипсами или гиперболами. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2014. № 4. С. 18–27.
  3. Фокичева В.В. Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик. Матем. сб. 2015. Т. 206. № 10. С. 127–176.
  4. Ведюшкина В.В., Харчева И.С. Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем. Матем. сб. 2018. Т. 209. № 12. С. 17–56.
  5. Козлов В.В., Трещёв Д.В. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991.
  6. Драгович В., Раднович М. Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные поризмы Понселе. Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2010.
  7. Dragoviс́ V., Radnoviс́ M. Minkowski plane, confocal conics, and billiards. Publications de l Institut Mathematique. 2013. 94(108). 17–30, DOI: 10.2298/ PIM1308017D.
  8. Dragoviс́ V., Radnoviс́ M. Bicentennial of the Great Poncelet Theorem (1813–2013): Current Advances. Bulletin of the American Mathematical Society. 2012. 51. 3. doi: 10.1090/S0273-0979-2014-01437-5.
  9. Dragoviс́ V., Radnoviс́ M. Periods of Pseudo-Integrable Billiards. Arnold Mathematical Journal. 2015. 1. 1. 69–73. DOI: 10.1007/ s40598-014-0004-0.
  10. Dragoviс́ V., Radnoviс́ M. Caustics of Poncelet Polygons and Classical Extremal Polynomials. Regular and Chaotic Dynamics. 2019. 24. 1. 1–35. DOI: 10.1090/ S0273-0979-2014-01437-5.
  11. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация. Т. 1, 2. Ижевск, Издательский дом “Удмуртский университет”, 1999. 1: 444 с.; 2: 447 с.
  12. Ведюшкина В.В. Траекторные инварианты плоских бильярдов, ограниченных дугами софокусных квадрик и содержащих фокусы. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2021. № 4. С. 48–51.
  13. Фоменко А.Т., Ведюшкина В.В. Бильярды и интегрируемость в геометрии и физике. Новый взгляд и новые возможности. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2019. № 3. С. 15–25.
  14. Ведюшкина (Фокичева) В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые геодезические потоки на ориентируемых двумерных поверхностях и топологические биллиарды. Изв. РАН. Сер. матем. 2019. Т. 83. № 6. С. 63–103.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2024