Generalization of Gershgorin Circle Theorem with Application to Analysis and Design of Control Systems

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

Рассмотрено применение теоремы о кругах Гершгорина и некоторых производных от нее результатов для оценки собственных значений матриц. Развиваются полученные результаты для создания области локализации собственных значений матриц с интервально неопределенными постоянными и нестационарными элементами. Вводится понятие e-кругов для получения более точных оценок данных областей, чем при использовании кругов Гершгорина. Полученные результаты применены к анализу устойчивости сетевых систем, где показано, что предложенные методы позволяют анализировать сеть с гораздо большим числом агентов, чем при использовании методов решения линейных матричных неравенств в CVX и Yalmip/SeDuMi, а также алгоритмов eig (для вычисления собственных чисел матрицы) и lyap (для решения уравнения Ляпунова) в MatLab. Показано, что если разработанные методы применять не к самой системе, а к результату, полученному с помощью метода функций Ляпунова, то можно исследовать системы с матрицами без диагонального преобладания. Это позволило рассмотреть модификацию условия Демидовича на системы с нестационарными параметрами и синтез закона управления для нестационарных систем с матрицами без диагонального преобладания. Все полученные результаты иллюстрируются численным моделированием.

About the authors

I. B Furtat

Email: cainenash@mail.ru

References

  1. Теория автоматического управления. Часть 1. Под ред. А.А. Воронова. М.: Высш. шк., 1986.
  2. Фуртат И.Б., Гущин П.А. Методы анализа и синтеза линейных и нелинейных систем управления при наличии возмущений и запаздывания. Ижевск: Изд-во «ИКИ», 2021.
  3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.
  4. Хорн Р.А., Джонсон С.Р. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.
  5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
  6. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. I. Анализ // АиТ. 2002. № 8. С. 37–53.
  7. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. II. Синтез // АиТ. 2002. № 11. С. 56–75.
  8. Поляк Б.Т. Обобщенная сверхустойчивость в теории управления // АиТ. 2004. № 4. С. 70–80.
  9. Uronen P., Jutila E.A.A. Stability via the theorem of Gershgorin // Int. J. Control. 1972. V. 16. No. 6. P. 1057–1061.
  10. Соловьев В.Н. Обобщение теоремы Гершгорина // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. № 47. Т. 6. С. 1285–1302.
  11. Curran P.F. On a variation of the Gershgorin circle theorem with applications to stability theory // IET Irish Signals and Systems Conference (ISSC 2009), Dublin, 2009. P. 1–5.
  12. Vijay Hote, Amar Nath Jha. New approach of Gerschgorin theorem in model order reduction // Int. J. Model. Simulat. 2015. V. 35. P. 143–149.
  13. Li C.-K., Zhang F. Eigenvalue continuity and Gersgorin’s theorem // Electron. J. Linear Algebra. 2019. V. 35. P. 619–625.
  14. Kazakova-Frehse N., Frick K. The estimation of a robust domain of attraction using Gersgorin theorem // Int. J. Robust and Nonlinear Control. 1998. V. 8. P. 295–303.
  15. Vijay Hote, Amar Nath Jha. Reduced order state feedback controller design // 2014 Int. Conference on Advances in Engineering & Technology Research (ICAETR – 2014), 2014. P. 1–6.
  16. Pachauri N., Rani A. Gerschgorin theorem based stability analysis of chemical process // 2014 Int. Conference on Advances in Engineering & Technology Research (ICAETR – 2014), 2014. P. 1–5.
  17. Xie L., Huang J., Tan E., He F., Liu Z. The Stability Criterion and Stability Analysis of Three-Phase Grid-Connected Rectifier System Based on Gerschgorin Circle Theorem // Electronics. 2022. V. 11. No. 20, 3270.
  18. Adom-Konaduy A., Albert Lanor Sackiteyz, Anokyex M. Local Stability Analysis Of Epidemic Models Using A Corollary Of Gershgorin’s Circle Theorem // Applied Mathematics E-Notes. 2023. V. 23. P. 159–174.
  19. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория кон- струирования систем управления. М.: Высш. шк., 2003.
  20. Цыпкин Я.З., Бромберг П.В. О степени устойчивости линейных систем // Из- вестия АН СССР, ОТН. 1945. № 12.
  21. Рубинчик А.М. Приближенный метод оценки качества регулирования в линей- ных системах / Устройства и элементы теории автоматики и телемеханики. М.: Машгиз, 1952.
  22. Фельдбаум А.А. О распределении корней характеристического уравнения си- стем автоматического регулирования // АиТ. 1948. Т. 9. № 4. С. 253–279.
  23. Халил Х.К. Нелинейные системы. М.:-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 The Russian Academy of Sciences