Локализация собственных колебаний тонких упругих прокладок

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Изучены собственные колебания тонких изотропных однородных пластин постоянной и переменной толщины, основания которых жестко защемлены. Показано, что лишь для пластины постоянной толщины с дополнительно зафиксированной боковой поверхностью двумерная модель — спектральная задача Дирихле для двумерной системы Ламе с измененным коэффициентом Пуассона — правильно описывает частоты собственных колебаний тонкого трехмерного тела. В остальных случаях асимптотический анализ предоставляет иные модели пониженной размерности, в частности разнообразные обыкновенные дифференциальные уравнения, а для соответствующих мод собственных колебаний характерна концентрация около всей боковой поверхности или некоторых точек на границе. При неплоских основаниях локализация собственных мод происходит около точек максимума толщины пластины и описывается обобщенными уравнениями гармонического осциллятора. Обсуждается случай несжимаемого изотропного материала пластины.

Полный текст

Доступ закрыт

Об авторах

С. А. Назаров

Институт проблем машиноведения РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
Россия, Санкт-Петербург

Список литературы

  1. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
  2. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.
  3. Шойхет Б.А. Об асимптотически точных уравнениях тонких плит сложной структуры // ПММ. 1973. Т. 37. № 5. С. 913–924.
  4. Ciarlet P.G. Mathematical Elasticity, II: Theory of Plates. Studies in Mathematics and Its Applications. V. 27. Amsterdam: SIAM, 1997.
  5. Le Dret H. Problemes variationnels dans les multi-domains mod´elisation des jonctions et applications. Paris: Masson, 1991.
  6. Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Науч. книга, 2002.
  7. Panasenko G. Multi-Scale Modelling for Structures and Composites. Dordrecht: Springer, 2005.
  8. Назаров С.А. Двумерные асимптотические модели тонких цилиндрических упругих прокладок // Дифф. ур-я. 2022. Т. 58. № 12. С. 1666–1682.
  9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Наука, 1974.
  10. Molchanov S., Vainberg B. Scattering solutions in networks of thin fibers: small diameter asymptotics // Comm. Math. Phys. 2007. V. 273. № 2. P. 533–559.
  11. Назаров С.А. Пороговые резонансы и виртуальные уровни в спектре цилиндрических и периодических волноводов // Изв. РАН. Сер. матем. 2020. Т. 84. № 6. С. 73–130.
  12. Камоцкий И.В., Назаров С.А. О собственных функциях, локализованных около кромки тонкой области // в сб: Пробл. матем. анализа. Вып. 19. Новосибирск: Науч. книга, 1999. С. 105–148.
  13. Назаров С.А. Дискретный спектр коленчатых квантовых и упругих волноводов // ЖВММФ. 2016. Т. 56. № 5. C. 879–895.
  14. Назаров С.А. Собственные колебания упругой полуполосы при различном расположении участков фиксации ее краев // Акуст. ж. 2023. Т. 69. № 4. С. 338–409.
  15. Назаров С.А. Упругие волны, захваченные полубесконечной полосой с защемленными боковыми сторонами и искривленным или изломанным торцом // ПММ. 2023. Т. 87. № 2. С. 265–279.
  16. Rellich F. Über das asymptotische Verhalten der Lösungen von in unendlichen Gebieten // Jahresber. Dtsch. Math. Ver. 1943. Bd. 53. Abt. 1. S. 57–65.
  17. Ван Дайк М.Д. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: Мир, 1967. 310 c.
  18. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
  19. Mazja W.G., Nasarow S.A., Plamenewski B.A. Asymptotische Theorie elliptischer Rand— wertaufgaben in singulär gestörten Gebieten. 1 & 2 Berlin: Akademie, 1991.
  20. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: изд-во Ленингр. ун-та, 1980.
  21. Leis R. Initial boundary value problems of mathematical physics. Stuttgart: B.G. Teubner, 1986.
  22. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. Т. 12. № 5. С. 3–122.
  23. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Оценки в Lp и в классах Гельдера и принцип максимума Миранда–Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе // Math. Nachr. 1977. Bd. 77. S. 25–82.
  24. Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of narrow periodic waveguides // Russ. J. Math. Phys. 2008. V. 15. № 2. P. 238–242.
  25. Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of the Dirichlet Laplacian in a narrow strip // Israel J. Math. 2009. V. 170. P. 337‒354.
  26. Borisov D., Freitas P. Singular asymptotic expansions for Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions on thin planar domains // Ann. Inst. Henri Poincaré. Anal. Non Linèaire. 2009. V. 26. № 2. P. 547‒560.
  27. Borisov D., Freitas P. Asymptotics of Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian on thin domains in Rd // J. Funct. Anal. 2010. V. 258. № 3. P. 893‒912.
  28. Назаров С.А. Околовершинная локализация собственных функций задачи Дирихле в тонких многогранниках // Сиб. матем. ж. 2013. Т. 54. № 3. С. 655–672.
  29. Nazarov S.A., Perez E., Taskinen J. Localization effect for Dirichlet eigenfunctions in thin non-smooth domains // Trans. Amer. Math. Soc. 2016. V. 368. № 7. P. 4787–4829.
  30. Gómez D., Nazarov S.A., Pérez-Martinez M.-E. Localization effects for Dirichlet problems in domains surrounded by thin stiff and heavy bands // J. Diff. Eqns. 2021. V. 270. P. 1160–1195.
  31. Назаров С.А. Структура решений эллиптических краевых задач в тонких областях // Вестн. ЛГУ. Сер. 1. 1982. Вып. 2 (№ 7). С. 65–68.
  32. Grieser D. Spectra of graph neighborhoods and scattering // Proc. London Math. Soc. 2008. V. 97. № 3. P. 718–752.
  33. Назаров С.А. Общая схема осреднения самосопряженных эллиптических систем в многомерных областях, в том числе тонких // Алгебра и анализ. 1995. Т. 7. № 5. С. 1–92.
  34. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions II // Commun. on Pure&Appl. Math. 1962. V. 17. № 1. P.3–92.
  35. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физматгиз, 1961.
  36. Pichugin A.V., Rogerson G.A. A two-dimensional model for extensional motion of a pre-stressed incompressible elastic layer near cut-off frequencies // IMA J. Appl. Math. 2001. V. 66. P. 357–385.
  37. Pichugin A.V., Rogerson G.A. An asymptotic membrane-like theory for long-wave motion in a pre-stressed elastic plate // Proc. R. Soc. London A. 2002. V. 458. P. 1447–1468.
  38. Kaplunov Y.D., Nolde Y.V. Long-wave vibrations of a nearly incompressible isotropic plate with fixed faces // Quart. J. Mech. Appl. Math. 2002. V. 55. № 3. P. 345–356.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать
2. Рис. 1. Поперечные сечения пластин переменной (а) и постоянной толщины (б).

Скачать (47KB)
Метаданные
3. Рис. 2. Полубесконечная упругая полоса, служащая для описания явления пограничного слоя.

Скачать (30KB)
Метаданные
4. Рис. 3. Круглая пластина с вырезанными кругами (а), яйцевидная область (б), эллипс (в), эллиптическое кольцо (г). Точки глобальных и локальных максимумов и минимумов кривизны указаны метками ● и ○ соответственно.

Скачать (76KB)
Метаданные
5. Рис. 4. Составной контур — пара полуокружностей и пара прямых отрезков (а). Угловые точки на контуре (б), точки скачков кривизны контура (а) указаны меткой ●.

Скачать (41KB)
Метаданные
6. Рис. 5. Пластины с закругленной поверхностью (а), выступающая за кромки штампов, обозначенных полужирными линиями (б), полуполоса, служащая для описания пограничного слоя (в).

Скачать (46KB)
Метаданные

© Российская академия наук, 2024