Continued fractions in hyperelliptic fields with an arbitrarily large period length

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The article proves the following statement: in any hyperelliptic field L defined over the field of algebraic numbers K which having non-trivial units of the ring of integer elements of the field L, there is an element for which the period length of the continued fraction is greater any pre-given number.

About the authors

V. P. Platonov

Scientific Research Institute of System Development; Steklov Institute of Mathematics

Author for correspondence.
Email: platonov@niisi.ras.ru

Academician of the RAS 

Russian Federation, Moscow; Moscow

G. V. Fedorov

Scientific Research Institute of System Development; Sirius University of Science and Technology

Email: fedorov.gv@talantiuspeh.ru
Russian Federation, Moscow; Sirius, Krasnodar region

References

  1. Беняш-Кривец В.В., Платонов В.П. Группы S-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби // Матем. сб. 2009. Т. 200. № 1. С. 15–44.
  2. Платонов В.П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // УМН. 2014. Т. 69. №1(415). С. 3–38.
  3. Schmidt W.M. On continued fractions and diophantine approximation in power series fields // Acta arithmetica. 2000. V. 95. N 2. P. 139–166.
  4. Ленг С. Введение в теорию диофантовых приближений. Мир, 1970.
  5. Lasjaunias A. A survey of diophantine approximationin fields of power series // Monatshefte für Mathematik. 2000. V. 130. P. 211–229.
  6. Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме классификации многочленов с периодическим разложением в непрерывную дробь в гиперэллиптических полях // Известия РАН. Серия математическая. 2021. Т. 85. № 5. С. 152–189.
  7. Платонов В.П. Арифметика квадратичных полей и кручение в якобианах // ДАН. 2010. Т. 430. №3. С. 318–320.
  8. Zannier U. Hyperelliptic continued fractions and generalized Jacobians // American Journal of Mathematics. 2019. V. 141. N 1. P. 1–40.
  9. Федоров Г.В. О длине периода функциональной непрерывной дроби над числовым полем // ДАН. 2020. Т. 495. С. 78–81.
  10. Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Матем. сб. 2018. Т. 209. № 4. С. 54–94.
  11. Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме классификации периодических непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Успехи математических наук. 2020. Т. 75. № 4. С. 211–212.
  12. Федоров Г.В. Непрерывные дроби и проблема классификации эллиптических полей над квадратичными полями констант // Матем. заметки. 2023. Т. 114. № 6. С. 873–893.
  13. Hardy G.H., Wright E.M. An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth ed.). Oxford: Oxford University Press, 1979.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences