Optimal control in linear-quadratic optimization problems of hyperbolic systems with distributed parameters

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

The paper proposes a constructive method of solving the linear-quadratic problem of optimal control of hyperbolic systems with distributed parameters under the conditions of estimation in a uniform metric of the target sets of final states of the controlled variable and the rate of its v variation in time. The previously developed alternance method of constructing program control algorithms is applicable to the considered range of problems. The corresponding methodology uses the procedure of parameterisation of the desired control actions on a finite-dimensional subset of an infinite number of final values of conjugate variables and the subsequent operation of exact reduction to a parametric problem of semi-infinite optimization, which is solved according to the scheme of application of the alternance method generalised to the situations under consideration. It is shown that the sought equations of optimal regulators are reduced to linear, with non-stationary coefficients, feedback laws on the measured output of the object. An example of the solution of the problem of energy-optimal control of an object described by a wave equation of mathematical physics, which is of independent interest, is given.

Full Text

Restricted Access

About the authors

Yu. E. Pleshivtseva

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: yulia-pl@mail.ru
Russian Federation, Samara

E. Ya. Rapoport

Samara State Technical University

Email: edgar.rapoport@mail.ru
Russian Federation, Samara

References

  1. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975.
  2. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. М.: Наука, 1977.
  3. Ильин В.А., Моисеева Е.И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны // УМН. 2005. Т. 60. Вып. 6. С. 89–114.
  4. Мартыненко Н.А., Пустыльников Л.М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1986.
  5. Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями. М.: Физматлит, 2004.
  6. Егоров А.И., Знаменская Л.Н. Введение в теорию управления системами с распределенными параметрами. СПб.: Лань, 2017.
  7. Рапопорт Э.Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. М.: Высш. шк., 2009.
  8. Рапопорт Э.Я. Анализ и синтез систем автоматического управления с распределенными параметрами. М.: Высш. шк., 2005.
  9. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. М.: Наука, 2000.
  10. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Методы полубесконечной оптимизации в прикладных задачах управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 2021.
  11. Плешивцева Ю.Э., Рапопорт Э.Я. Метод последовательной параметризации управляющих воздействий в краевых задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами // Изв. РАН. ТиСУ. 2009. № 3. С. 22–33.
  12. Рапопорт Э.Я.Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов в линейно-квадратичных задачах управления системами с распределенными параметрами при равномерных оценках целевых множеств // Изв. РАН ТиСУ. 2021. № 3. С. 23–38.
  13. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. М.: Высш. шк., 2003.
  14. Валеев Г.К., Жаутыков О.А. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. Алма-Ата: Наука Казахской ССР, 1974.
  15. Персидский К.П. Об устойчивости решений счетной системы дифференциальных уравнений // Изв. АН КазССР. Сер. мат. и мех. 1948. Вып. 2. С. 2–35.
  16. Коваль В.А. Спектральный метод анализа и синтеза распределенных управляемых систем. Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т, 1997.
  17. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.2. Многомерные, оптимальные и адаптивные системы. М.: Физматлит, 2007.
  18. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.
  19. Егоров Ю.В. Необходимые условия оптимальности в банаховом пространстве // Мат. сб. (новая серия). 1964. Т. 64 (106). № 1. С. 79–101.
  20. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.
  21. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.
  22. Плешивцева Ю.Э., Рапопорт Э.Я. Параметрическая оптимизация систем с распределенными параметрами в задачах с комбинированными ограничениями на конечные состояния объекта управления //Изв. РАН. ТиСУ. 2018. № 5. С. 54–69.
  23. Рапопорт Э.Я. Равномерная оптимизация управляемых систем с распределенными параметрами // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2022. Т. 26. № 3. С. 419–445.
  24. Савелов А.А. Плоские кривые. М.: URSS, 2010.
  25. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. М.: Металлургия, 1993.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Fig. 1. Spatial distribution of the controlled variable in relative units (Q (x, ψ) – Q** (x)) S–1 at the end of the optimal control process at ε.

Download (47KB)
Indexing metadata
3. Fig. 2. Spatial distribution of the rate of change of the controlled variable in relative units at the end of the optimal control process at ε1 > ε1min (1 - for ε1S1 = 0.85, 2 - for optimal control determined by the solution of the system of equations (4.15)).

Download (51KB)
Indexing metadata
4. Fig. 3. Optimal control behaviour in relative units depending on time-varying feedback signals on the measured output of the object at two points: xu1 = 0, xu2 = l.

Download (49KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences