ASYMPTOTICS OF THE SOLUTION TO A BISINGULAR PROBLEM OF OPTIMAL DISTRIBUTED CONTROL IN A CONVEX DOMAIN WITH A SMALL PARAMETER IN ONE OF THE HIGHER DERIVATIVES

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The paper considers the problem of optimal distributed control in a strictly convex planar domain with a smooth boundary and a small parameter in one of the higher derivatives of the elliptic operator. In this problem, a zero Dirichlet boundary condition is imposed, and the control enters additively into the inhomogeneity. The set of admissible controls is the unit ball in the corresponding space of square-integrable functions. The solutions to the resulting boundary value problems are treated in the generalized sense as elements of a certain Hilbert space. The optimality criterion is the sum of the square of the norm of the state deviation from a given state and the square of the norm of the control, with a weighting coefficient. This structure of the optimality criterion allows either the first or the second term to be emphasized, depending on the need. In the first case, achieving the desired state is prioritized, while in the second case, minimizing resource costs becomes more important. The asymptotics of the problem are studied in detail, arising from a second-order differential operator with a small coefficient in one of the higher derivatives, to which a zero-order differential operator is added.

About the authors

A. R. Danilin

N.N. Krasovsky Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: dar@imm.uran.ru
Yekaterinburg, Russia

References

  1. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972, 414 c..
  2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972, 736 с.
  3. Леликова Е.Ф. Об асимптотике решения эллиптического уравнения второго порядка с малым параметром при одной из старших производных // Тр. ИММ УрО РАН. 2003. Т. 9. № 1. С. 107—120.
  4. Ильин А.М., Леликова Е.Ф. Об асимптотике решения одного уравнения с малым параметром // Алгебра и анализ. 2010. Т. 22. № 6. С. 109-126.
  5. Casas Eduardo. A review on sparse solutions in optimal control of partial differential equations // SeMA J. 2017. V. 74. P. 319-344.
  6. Lou H., Yong J. Second-order necessary conditions for optimal control of semilinear elliptic equations with leading term containing controls // Math. Control Relat. Field. 2018. V. 8. № 1. P. 57-88.
  7. Betz Livia M. Second-order sufficient optimality conditions for optimal control of nonsmooth, semilinear parabolic equations // SIAM J. Control Optim. 2019. V. 57.№ 6. P. 4033-4062.
  8. Данилин А.Р. Аппроксимация сингулярно возмущенной эллиптической задачи оптимального управления // Матем. сб. 2000. Т. 191. №10. С. 3-12.
  9. Данилин А.Р. Асимптотика решений системы сингулярных эллиптических уравнений в прямоугольнике // Матем. сб. 2003. Т. 194. №1. С. 31-60.
  10. Данилин А.Р. Асимптотика решения сингулярной задачи оптимального распределённого управления с существенными ограничениями в выпуклой области // Дифференц. ур-ния. 2020. Т. 56. № 2. С. 256-268.
  11. Данилин А.Р. Асимптотика решения задачи оптимального распределенного управления в выпуклой области с малым параметром при одной из старших производных // Уфимский матем. ж. 2023. Т. 15. № 2. С. 42-54.
  12. Ильин А.М. Согласование асимтотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.
  13. Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Наука, 1989. 248 с.
  14. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 371 с.
  15. Данилин А.Р., Зорин А.П. Асимптотика решения задачи оптимального граничного управления // Тр. ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15.№ 4. С. 95-107.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences